Пропорции

Многие величины, в результате наблюдений постоянно менялись, причем с ростом одной, взаимно увеличивалась и другая величина. Причем в то же количество раз. Это и есть основная особенность пропорции, которая позволяет более быстро решать задачи, минуя громоздкие вычисления. Например, достаточно знать, что:

— пройденный путь напрямую зависит от времени и от скорости;

— что выполненная работа напрямую зависит от количества работников от времени, от производительности;

— что, чем больше сторона квадрата, тем больше его площадь;

— что стоимость всей покупки также напрямую зависит от количества товара и от его цены.

Здесь важно вспомнить, что чем больше множители, тем больше их произведение.

Так же важно правильно составить пропорцию, чтобы получить верное решение. Допустим, время выполненной работы увеличилось в три раза, а скорость работы (производительность) не изменилась, тогда весь объем работы увеличится в то же количество раз т. е. в 3 раза.

Такие же методы используются в решении более расширенных задачах:

Сначала скорость поезда была 100 км/ч, и он преодолел 400 км. Какое расстояние он пройдет если его скорость увеличится до 150 км/ч (за то же время)

Скорость записывается под скоростью

Километры под километрами

Одинаковые размерности величин записываются друг под другом в соответствии с условием (т.е. если при 100 км расстояние было 400 пишем в строчку, если 150, то пишем X так же в строчку под первой строкой). Так записывается условие задачи. В решении остается вспомнить как решается сама пропорция

Произведение крайних элементов равно произведению внутренних.

Затем по этому свойству составляем простое уравнение и находим неизвестный множитель. Всю правую часть уравнения дели на известный множитель в левой части.

Встречаются задачи, где величины соответственно уменьшаются. Решаются они так же.

Например, во сколько раз уменьшится площадь квадрата если сторона его уменьшится в 5 раз. Ответ: площадь также уменьшиться соответственно в 5 раз.

Это были случаи прямой пропорциональной зависимости.

Есть и обратная зависимость, когда одна величина увеличивается, а другая уже уменьшается, так же в то же количество раз.

— Допустим с ростом количества работников работа будет выполнена быстрее т. е. на нее уйдет меньше времени. Если увеличится цена товара, то за ту же стоимость совершится меньше покупок. В данных случаях результат деления зависит от делителя. Чем он больше, тем меньше частное в тоже количество раз. При решении такой пропорции мы просто переворачиваем правый столбец и решаем уже такую новую пропорцию. Например, в такой задаче: 6 работников выполнили задание за 48 часов. Сколько времени потребуется 8 работникам, чтобы выполнить ту же работу?

Так же пишем столбцы и строки в соответствие. Теперь переворачиваем правую часть пропорции

и решаем «крест на крест»

Здесь явно видно, что количество работников увеличилось с 6 до 8 и работа выполнена быстрее с 48 до 36.

Используя пропорции можно решать и экзаменационные задачи из ОГЭ.

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что угол AOB равен 28 градусов. Длина меньшей дуги AB равна 63. Найдите длину большей дуги.

Эту задачу можно решать, вычисляя радиус окружности, использовать громоздкую формулу, далее находить длину новой дуги по той же формуле. А можно просто заметить, что чем больше центральный угол те большую дугу он стягивает

При решении мы сначала найдем градусную меру дуги оставшейся части окружности, т. е. большую дугу. От всей окружности отнимем известную часть 360−28=332 и составим пропорцию.

Эту задачу можно решать, вычисляя радиус окружности, использовать громоздкую формулу, далее находить длину новой дуги по той же формуле. А можно просто заметить, что чем больше центральный угол, тем большую дугу он стягивает.

При 28 градусах – длина дуги 63

При 332 градусах – неизвестно (х)

Ответ: 747 градусов

Это как раз и есть пропорциональная зависимость (прямая) и можно решить данную задачу избегая громоздких вычислений.